Materi Matdis Aljabar Boolean Lanjutan (Gerbang Logika dan Peta Karnaugh)

Gerbang Logika atau Logic Gate adalah proses pengolahan input bilangan biner dengan teori Matematika Boolean. Seperti yang kita ketahui, bilangan biner sendiri terdiri dari angka 1 dan 0.

Logic Gate ini direpresentasikan menggunakan tabel kebenaran. Jika memiliki nilai benar (true) akan ditunjukan dengan angka “1”. Sebaliknya, jika memiliki nilai salah (false) akan ditunjukan dengan angka “0”.

Terdapat beberapa jenis logic gate yang umum digunakan. Berikut adalah jenis-jenis gerbang logika dan tabel kebenarannya.

1. Suatu gerbang AND dengan masukan A dan B diberi masukan grafik logika seperti Gambar berikut. Tentukan grafik keluaran z!

Berdasar tabel kebenaran pada Gambar diatas, didapat bahwa masukan AND hanya akan berlogika 1 jika kedua masukan/input berlogika 1. Sehingga grafik keluaran/output Y seperti gambar berikut.

2. Gambarkan untai gerbang dan saklar untuk gerbang OR dan AND yang dinyatakan dengan persamaan Y = (A + B).C!

Persamaan tersebut mengharuskan masukan A dan B di-OR-kan, hasilnya kemudian di-AND-kan dengan C.

3. Tiga buah gerbang NAND dirangkai seperti gambar dibawah. Buatlah tabel kebenaran untai tersebut!

Tabel kebenaran harus memuat seluruh variasi masukan A, B, C dan D. Karena ada 4 masukan, maka jumlah variasi ada 24 = 16, sehingga tabel akan mempunyai 16 baris.

Tabel kebenaran tersebut dapat dibuat per baris maupun per kolom. Jika dibuat per baris, maka pada baris pertama tentukan kombinasi untuk A, B, C dan D. Logika E ditentukan dari kolom A dan B, E = A NAND B. Logika F ditentukan dari kolom C dan D, F = C NAND D. Sedangkan logika keluaran Y ditentukan dari kolom E dan F, Y = E NAND F. 

Sedangkan jika dibuat per baris kolom, maka tentukan dulu kombinasi masukan A, B, C dan D. Logika E, F dan Y dapat ditentukan dengan cara yang sama seperti di atas.

4. Berikut sebuah untai logika yang dibentuk dari gerbang AND dan OR.

Untuk dapat merealisasikan untai tersebut, dibutuhkan 2 buah IC digital. Pertama, IC yang mempunyai gerbang AND yaitu 7408. Kedua, IC yang mempunyai gerbang OR yaitu 7432. Gerbang pertama dan kedua menggunakan dua buah gerbang pada IC 7408, dan gerbang ketiga hanya menggunakan sebuah gerbang pada IC 7432. 

Dengan memanfaatkan sifat universal dari gerbang NAND, ubahlah untai di atas agar dapat direalisasikan menggunakan gerbang NAND saja! Berapa IC yang dibutuhkan ?

Berdasar universalitas gerbang NAND dan NOR, gerbang AND dapat diwakili oleh dua buah gerbang NAND; sedangkan gerbang OR dapat diwakili oleh tiga buah gerbang NAND. Sehingga terbentuk 7 buah gerbang NAND seperti pada Gambar dibawah

Kita misalkan gerbang AND bagian atas diberi nomor 1 dan yang bawah diberi nomor 2, sedangkan gerbang OR di sebelah kanan diberi nomor 3. Gerbang nomor 1 dapat diganti dengan NAND menjadi gerbang nomor 1A dan 1B. Demikian pula gerbang nomor 2 dapat diganti menjadi gerbang nomor 2A dan 2B. Sedangkan gerbang nomor 3 yaitu OR dapat diganti dengan tiga gerbang NAND menjadi gerbang nomor 3A, 3B dan 3C.

Terdapat dua pasang NOT ganda, yaitu gerbang 1B-3A dan 2B-3B. Kedua pasang NOT tersebut dapat dihilangkan. Sehingga hasil akhir hanya dibentuk oleh tiga buah gerbang NAND. Untai hasil hanya menggunakan tiga gerbang NAND. Karena sebuah IC NAND 7400 mempunyai empat gerbang NAND, maka realisasi untai tersebut hanya membutuhkan sebuah IC.

Perhatikan bahwa untai pada dua Gambar diatas mempunyai fungsi logika sama. Silakan dicek dengan membuat tabel kebenaran untuk kedua untai tersebut dan bandingkan!

5. Salah satu contoh penerapan gerbang X-NOR adalah untai pendeteksi kesamaan dua bilangan biner sebagaimana Gambar di bawah. Tentukan kombinasi masukan x₁, x₀, y₁ dan y₀ yang akan menjadikan Z=1!

Y akan berlogika 1 jika kedua keluaran XOR berlogika 1. Hal ini hanya dapat terjadi jika x1 = y1 dan x0 = y0. Lihat tabel kebeneran berikut.

Dari gambar rangkaian diatas dapat kita ketahui bawah terdapat 3 gerbang yaitu gerbang NAND 2-input, gerbang EX-OR 2-input dan terakhir gerbang EX-NOR 2-input pada bagian output. 

Karena hanya ada 2 input ke sirkuit A dan B, maka ada 4 kemungkinan kombinasi input (2²) yaitu : 0-0, 0-1, 1-0 dan 1-1. Berdasarkan kombinasi input tersebut maka akan dibuat tabel kebenaran seperti ini :

Dari tabel kebenaran di atas, kolom C mewakili fungsi keluaran yang dihasilkan oleh gerbang NAND, sedangkan kolom D mewakili fungsi keluaran dari gerbang Ex-OR. Dari kedua ekspresi output ini kemudian menjadi kondisi input untuk gerbang Ex-NOR.

Dapat dilihat dari tabel kebenaran bahwa output di Q akan bernilai 1 apabila salah satu dari dua input A atau B berada di logika 1. Satu-satunya tabel kebenaran yang memenuhi kondisi ini yaitu tabel kebenaran gerbang OR. Oleh karena itu, seluruh rangkaian di atas dapat diganti dengan gerbang OR 2 input.

Untuk sistem diatas terdiri dari Gerbang AND, Gerbang NOR dan Gerbang OR, ekspresi untuk gerbang AND adalah A.B, dan ekspresi untuk gerbang NOR adalah A+B. Dari kedua ekspresi ini juga memiliki input yang terpisah ke gerbang OR yang didefinisikan sebagai A+B. Jadi ekspresi keluaran akhir adalah sebagai berikut :

Output pada Q yaitu Q = (A.B)+(A+B), tetapi notasinya sama seperti notasi De'Morgan A.B maka notasi A.B diganti kedalam ekspresi output sehingga dihasilkan notasi ouput Q = (A.B)+(A.B), dimana merupakan  notasi Boolean untuk Gerbang Exclusive-NOR.

Pada sistem rangkaian diatas mungkin terlihat lebih rumit daripada dua rangkaian sebelumnya. Jika dianalisa maka rangkaian logika diatas hanya terdiri dari gerbang dasar AND, OR dan NOT yang dihubungkan bersama.

Seperti contoh soal Aljabar Boolean sebelumnya, kita dapat menyederhanakan rangkaian sirkuit dengan menuliskan notasi Boolean pada setiap fungsi gerbang logika secara bergantian, agar didapatkan  ekspresi akhir untuk output pada Q.

Output dari gerbang AND 3-input yaitu logika "1" ketika semua input gerbang adalah "HIGH" pada level logika "1" (A.B.C). Output dari gerbang OR yang lebih rendah hanya "1" ketika satu atau kedua input B atau C berada pada level logika "0". 

Output dari gerbang AND 2-input adalah "1" ketika input A adalah "1" dan input B atau C berada pada "0". Maka output pada Q hanya “1” ketika input A.B.C sama dengan “1” atau A sama dengan “1” dan keduanya input B atau C sama dengan “0”, A.(B+C).

Dengan menggunakan "teorema de Morgan", input B dan input C dapat diputus untuk menghasilkan output pada Q, yang mana dapat berupa logika "1" atau pada logika "0". Maka satu-satunya input yaitu input A, sebagai satu-satunya input yang diperlukan untuk memberikan output pada Q seperti yang ditunjukkan pada tabel di bawah ini.

Pada susunan matriks Kmap 3-varaibel ke atas, terdapat urutan matriks yang harus diperhatikan. Pada matriks Kmap, dari setelah m₁ (x’y’z) urutan selanjutnya adalah m₃ (x’.y.z), bukan m₂ (x’yz’). Begitu pula m₅ (xy’z) urutan selanjutnya adalah m₇ (xyz), bukan m₆ (xyz’). Hal ini terjadi, disebabkan pada aturan pengurutan Kmap, kotak yang bersebelahan haruslah hanya memiliki satu perubahan bit variable, dari 0 ke 1 atau dari 1 ke 0. Apabila urutan setelah m₁ (x’y’z) adalah m₂ (x’yz’), maka terdapat dua bit variable yang berubah yaitu y dan z. Bit variable y berubah dari y’ menjadi y dan bit variable z berubah dari z menjadi z’. Begitu pula yang terjadi pada m₅ (xy’z), apabila urutan setelah m₅ (xy’z) adalah m₆ (xyz’), maka terdapat dua bit variable yang berubah yaitu y dan z. Bit variable y berubah dari y’ menjadi y dan bit variable z berubah dari z menjadi z’.

Pada penyajian Kmap 4-variabel dibutuhkan 16 (2⁴) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap ditunjukkan pada Gambar di bawah. 

Pada penyajian Kmap 5-variabel dibutuhkan 32 (2⁵) kotak persegi untuk Kmap. Cara mengisi masing-masing kotak persegi pada Kmap ditunjukkan pada Gambar di bawah. 

Pada Kmap dikenal istilah Implicant dan Prime Implicant untuk membantu dalam menemukan fungsi yang paling sederhana atau mengandung sedikit mungkin jumlah variable dan jumah literal.

Implicant adalah angka 1 baik yang sendiri maupun yang telah dikelompokkan. Sedangkan, Prime Implicant adalah suatu pengelompokkan angka 1 pada kotak-kotak yang bersebelahan secara maksimal, dengan cara memaksimalkan jumlah kotak yang bersebelahan dalam satu kelmpok. Dengan kata lain kelompok yang mungkin yang dapat mengelompokkan angka 1 secara luas. Prime implicant harus dapat meng-cover semua angka 1, seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.9 Jumlah kotak yang masuk dalam satu kelompok haruslah berjumlah 2ⁿ.

Semua yang dilingkari pada gambar diatas adalah prime implicant. Selanjutnya dikenal istilah prime implicant essential, yaitu prime implicant satu-satunya yang dapat mengelompokkan minterm (maxterm), selain itu dalam satu prime implicant hanya terdapat minimal satu minterm yang hanya dapat di-cover oleh prime implicant essential dan tidak di-cover oleh prime implicant yang lain. Penjelasan lebih lanjut tentang prime implicant essential dapat dilihat pada 2 gambar dibawah ini.

Pada Kmap gambar diatas terdapat lebih dari satu kombinasi fungsi :

Maka dari fungsi hasil penyederhanaan adalah fungsi OR → Z = X + Y 

 

Contoh penyederhanaan Kmap 3-variabel ditunjukkan pada Gambar dibawah.

Contoh penyederhanaan Kmap 5-variabel ditunjukkan pada gambar dibawah, maka diperoleh fungsi F(A,B,C,D,E) = A’.B’.E’ + B.D’.E + A.C.E. 

 

 Pada penyederhanaan tidak diperbolehkan mengelompokkan kotak selain yang bersebelahan pada empat arah mata angin dan depan belakang, jika itu dilakukan maka kelompok tersebut akan disebut Illegal grouping. Contoh illegal grouping ditunjukkan pada 2 gambar dibawah. 

Terima Kasih 😀😊😘👌👍 :)

Wassalamu‘alaikum Wr. Wb.