[#2] Materi Matematika Wajib (Kelas 12) : Aturan Pencacahan (Perkalian), Permutasi & Kombinasi, dan Peluang (Peluang, dan Kejadian Majemuk) (+ Video Pembelajaran) [#BelajarDiRumah]

Aturan Perkalian adalah banyaknya cara yang dapat dilakukan untuk menentukan pilihan dari suatu permasalahan. Cara penyelesaian aturan pencacahan dapat diselesaikan dengan kotak, diagram, dan lain-lain. Rumus umum dari suatu aturan perkalian adalah sebagai berikut jika terdapat k unsur yang tersedia dengan : 

n₁ = banyak cara untuk menyusun unsur pertama

n₂ = banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun

n₃ = banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun

nk = banyak cara untuk menyusun unsur ke-k setelah objek unsur sebelumnya tersusun.

Maka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah:

n₁ x n₂ x n₃ x ………x n_k

Contoh soal : Seorang manajer supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri yang dimulai dari nomor 3000 sampai dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak nomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 

Jawab : Soal ini dapat dijawab menggunakan menggunakan konsep aturan perkalian dengan penjelasan kotak. Ada 4 kotak yang tersedia yaitu Ribuan, Ratusan, Puluhan, dan Satuan. 

Notasi ! adalah Faktorial. Faktorial merupakan perkalian semua bilangan asli yang kurang atau sama dengan n. Faktorial dilambangkan dengan tanda !. Jadi jika n!, maka dibaca "n Faktorial". Secara umum, Faktorial dirumuskan sebagai :

Anda juga bisa mencari nilai Faktorial dengan menggunakan Situs Wolfram|Alpha.

Permutasi Sikilik/Siklis adalah Permutasi yang disusun melingkar. Misalnya A, B, dan C disusun melingkar.

Dalam sebuah keluarga yang terdiri dari seorang Ayah, seorang Ibu, dan 3 Orang anaknya makan bersama dan mengelilingi sebuah meja makan. Berapa banyaknya cara yang berlainan saat mereka dapat duduk, jika :

    1. Mereka berpindah-pindah tempat;

    2. Ayah dan Ibu selalu berdekatan?

Banyaknya anggota keluarga adalah 5 orang (seorang ayah, seorang ibu, dan 3 orang anak). Sehingga, banyaknya cara yang berlainan saat mereka duduk berpindah-pindah tempat adalah  Cara.

Perhatikan gambar berikut.

Ayah dan ibu selalu berdampingan, sehingga pasangan ini dapat kita anggap satu. Sehingga terdapat 4 objek yang akan disusun secara Siklis. Akan tetapi pasangan ayah dan ibu dapat disusun kembali menjadi cara. Sehingga banyaknya susunan agar ayah dan ibu selalu berdekatan adalah Cara.

Permutasi dengan Pengulangan artinya permutasi yang membolehkan objek yang sama untuk muncul lebih dari satu kali.

Berapakah banyaknya susunan 2 Huruf yang dapat dibentuk dari huruf A, B dan C, jika huruf-huruf penyusunnya tersebut boleh diulang?

Susunan yang terbentuk tersebut adalah AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB dan CC.

Apabila terdapat unsur yang berbeda dan diambil n unsur, maka banyaknya susunan atau permutasi yang berbeda dari n unsur tersebut merupakan P(n,n) = n! atau nPn = n!

Untuk menyambut suatu pertemuan delegasi negara yang dihadiri oleh lima negara. Panitia kemudian akan memasang kelima bendera yang merupakan bendera dari lima negara yang hadir.

Banyak cara untuk panitia menyusun kelima bendera tersebut yaitu?

Dari kelima bendera yang ada, berarti kita peroleh n = 5, sehingga banyak susunan bendera yang mungkin yakni :

5! = 5.4.3.2.1 = 120 Cara

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Di dalam Kombinasi, urutan tidak diperhatikan.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Penyelesaian : Ada 3 Kombinasi yaitu; A-B, A-C dan B-C.

Sedangkan Permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam Permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh : Ada sebuah kotak berisi 3 Bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 Bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Penyelesaian : Ada 6 Permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Rumus umum dari Kombinasi adalah : 

Tentukan nilai dari :

Rumus Solusi ini untuk permutasi dan kombinasinya adalah sebagai berikut :

Oh ya, Kalian pastinnya sudah kenal dengan Permainan Ular Tangga bukan?. Itu lho, yang mainnya pakai Dadu. Permainan ini merupakan Permainan yang hits pada zaman dahulu, yang mungkin sudah agak jarang di jumpai pada zaman sekarang.

Pada Permainan Dadu, cara bermainnya cukup mudah, yakni kita hanya tinggal melemparkan Dadu, sebagai dasar untuk menggerakkan Bidak dari satu petak ke petak lainnya. Misalnya saja, Anton ingin mencapai Kotak nomor 4, karena ada tangga naik.

Jika Anton berada di Kotak 1, berapakah peluang Anton maju ke Kotak 4?. Untuk maju ke kotak 4, maka Anton harus maju 3 Langkah, artinya dadu Anton harus menunjukkan Angka 3. Perlu diingat bahwa dadu mempunyai 6 Sisi, sehingga peluang untuk munculnya Angka 3 yaitu sebanyak 36 atau Setengah.

Tanpa disadari, ternyata pada permainan dadu menerapkan konsep matematika yang disebut dengan Peluang. Nah, Materi peluang inilah yang akan kita pelajari pada pembahasan kali ini. Untuk lebih jelasnya yuk simak..

Konsep dasar dari Peluang dirincikan menurut besaran-besaran apa yang harus dikuasai. Konsep ini diperoleh melalui percobaan. Konsep dasar peluang meliputi ruang sampel dan titik sampel. Berikut uraiannya;

Ruang sampel yaitu himpunan semua kemungkinan hasil yang diperoleh dari suatu percobaan. Ruang sampel dinyatakan dengan Huruf ”s“. Sebagai contoh ruang sampel pada dadu yaitu angka 1,2,3,4,5,6.

Titik sampel yaitu bagian dari Ruang Sampel. Titik sampel contohnya pada saat kita melemparkan sebuah Dadu, salah satu kemungkinan Angka yang akan keluar adalah 4.

Dari Satu Set Kartu Bridge, akan diambil 1 (Satu) Kartu secara Acak. Tentukanlah ruang Sampel Percobaan tersebut!.

Dari satu set kartu bridge terdapat 4 (Empat) Jenis kartu yaitu Sekop, Wajik, dan Keriting. Masing-masing kartu tersebut terdiri dari 13 Kartu yaitu As hingga King.

Jadi, Ruang Sampel dari Satu Set Kartu Bridge yaitu sebanyak 4 x 13 = 52 Kartu.

Peluang Klasik yaitu Peluang Awal yang dipelajari oleh matematikawan pada Abad ke 17 dan 18. Semua kejadian yang akan berlaku ditentukan melalui ruang sampel.

Peluang jenis ini, semua kejadiannya diasumsikan mempunyai peluang yang sama untuk terjadi. Contohnya saat kamu mengambil satu set Kartu Bridge. Maka masing-masing kartu yang akan kamu ambil mempunyai peluang yang sama yaitu 1/52.

Pada saat kamu menentukan peluang kejadian A, kamu harus membandingkan antara banyaknya kejadian A dan banyaknya keluaran pada Ruang Sampel. Secara Matematis Kejadian A dituliskan dengan;

Pada sebuah set Kartu Bridge akan diambil kartu merah bernomor 10. Tentukanlah peluang terambilnya kartu merah bernomor 10!.

Satu Set Kartu Bridge isinya 52 kartu. Artinya, banyaknya ruang sampel pada percobaan tersebut n(S) = 2. Sedangkan terambilnya kartu merah yang bernomor 10 menunjukkan n(A) = 2

Sehingga menurut teori peluang klasik diperoleh;

Konsep penting lainnya yang harus kamu pelajari di materi peluang ini adalah kejadian yang saling berkomplemen. Komplemen kejadian A adalah kejadian yang terjadi di ruang sampel selain A. Kejadian komplemen ini biasa dinyatakan dengan A^c. Secara Matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Mengingat semua jumlah kejadian = 1, maka persamaan di atas menjadi seperti berikut.

Untuk lebih jelasnya, simak contoh soal berikut.

Jika peluang siswa SMA Taruna Gagal dalam Ujian adalah 0,0001, tentukan Peluang Siswa SMA Taruna berhasil dalam Ujian!

Pembahasan :

Misalkan A adalah kejadian siswa SMA Taruna gagal dalam ujian. Dengan demikian, Ac adalah kejadian SMA Taruna berhasil dalam ujian. Berdasarkan persamaan komplemen kejadian, diperoleh :

P(A^c) = 1 – P(A)

          = 1 – 0,0001

          = 0,9999

Jadi, peluang siswa SMA Taruna berhasil dalam Ujian adalah 0,9999.

Contohnya adalah kamu ingin tahu apakah calon ketua OSIS-nya laki-laki atau perempuan. Artinya, tidak mungkin seseorang bersamaan antara laki-laki atau perempuan. 

Dengan demikian, kejadian tersebut dinamakan kejadian saling lepas. Secara matematis, dirumuskan sebagai berikut.

Rumus untuk kejadian A dan B saling lepas.

Pada Prinsipnya, aturan perkalian hampir sama dengan penjumlahan. Hal yang membedakan adalah contoh kasusnya.

Misalnya kamu memiliki 3 Lusin Buku dengan Rincian 1 Lusin Buku Sains, 1 Lusin Buku Fiksi, dan 1 Lusin Buku Novel. Saat kamu mengambil sebuah buku tanpa pengembalian, tentunya akan akan berpengaruh pada jumlah keseluruhan buku, kan? 

Artinya, peluang pada pengambilan kedua berbeda dengan pengambilan pertama karena buku tidak dikembalikan kembali. 

Secara Matematis, kejadian tidak saling bebas kejadian A dan B dirumuskan sebagai berikut.

Contohnya kamu melemparkan koin dan dadu secara bersamaan. Kamu ingin tahu peluang munculnya koin bergambar angklung dan dadu bernomor 5. 

Jelas bahwa Koin dan dadu tidak saling berpengaruh satu sama lain. Kejadian ini disebut kejadian saling bebas. Secara matematis, kejadian A dan B saling bebas dirumuskan sebagai berikut.

Pada keadaan tidak saling bebas, kamu mengenal persamaan berikut.

P(B|A) dibaca peluang kejadian B terjadi setelah A.

Pada dasarnya semakin tinggi peluang suatu peristiwa maka semakin besar kemungkinan peristiwa tersebut akan terjadi. Apakah yang dimaksud dengan peluang?

Dilansir Probability with permutations: An Introduction to Probability and Combinations (2017) oleh Steve Taylor, peluang merupakan seberapa besar kemungkinan susuatu akan terjadi, yang diukur sebagai angka antara 0 dan 1.

Di mana 0 menunjukkan ketidakmungkinan dan 1 menunjukkan kepastian sesuatu yang akan terjadi.

Jika ditulis secara matematis dapat dimisalkan A = {(G, A), (A, G)} dan B = {{G, G)}. Terlihat bahwa tidak ada satupun elemen A yang sama dengan elemen B.

Aturan penjumlahan terjadi apabila terdapat 2 kegiatan, misalkan kegiatan 1 terjadi sebanyak A cara dan kegiatan 2 terjadi sebanyak B cara. Maka dua kegiatan tersebut akan terjadi sebanyakan A+B.

Dikutip dari Combinations, Permutations, and Probabilities (1994) oleh Anthony Nicolaides, Persamaan Penjumlahan Peluang pada dua kejadian A dan B yang saling lepas adalah :

Perkalian peluang terjadi pada kejadian saling bebas (tidak saling lepas). Misalnya adalah pada saat kita melakukan tos dengan dua dadu, dimana peluang munculnya mata dadu 2 pada dadu pertama tidak memengaruhi peluang munculnya mata dadu 5 pada dadu kedua.

Sehingga munculnya kejadian pertama tidak memengaruhi peluang munculnya kejadian kedua. Aturan perkalian terjadi apabila terdapat 2 kegiatan, misalkan kegiatan 1 terjadi sebanyak A cara dan kegiatan 2 terjadi sebanyak B cara.

Maka dua kegiatan tersebut akan terjadi sebanyakan AB. Persamaan perkalian peluang pada 2 (Dua) Kejadian A dan B yang saling bebas adalah :

P(A dan B)=P(A)×P(B)

P(A∩B)=P(A)×P(B)