Edukasi · Rumus - Rumus · Sainstek

[#BelajarDiRumah] Inilah Pengertian, Bentuk Umum, Materi, hingga Contoh Soal tentang Suku Banyak / Polinomial (+ Video Pembelajaran)

04 Jun 2020 0

Assalammu‘alaikum wr. wb.

Hello gaes! Apakah kalian juga termasuk Phobia Matematika? Kali ini jangan takut untuk berhitung. Sekarang di pembahasan kali ini saya akan menjelaskan tentang Rumus Polinomial / Suku Banyak untuk Pelajaran Matematika Perminatan.

Sumber Materi : Studiobelajar.com dan Quipper (Blog)

PENGERTIAN

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini :

Suku Banyak atau Polinominal merupakan Pernyataan Matematika yang melibatkan Penjumlahan, Perkalian, Pangkat dalam satu atau lebih Variabel dengan Koefisien. Bisa dibilang Polinominal merupakan bentuk Aljabar dengan Pangkat peubah Bilangan Bulat Positif. Suku Banyak dalam x berderajat n mempunyai bentuk umum :

$P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_{2}x^{2} + a_{1}x + a_{0}$

Dimana :

Derajat (n) adalah Pangkat tertinggi dalam suatu suku banyak.

Variabel (x) adalah Bilangan yang dimisalkan dengan huruf misalnya x.

Koefisien (a) adalah Bilangan yang mengikuti variabel.

Contoh Persamaan dari Sistem Polinomial adalah $2x^{3} +5x^{2}+6x=8=0$ .

DASAR-DASAR TENTANG SUKU BANYAK (+ CONTOH SOAL)

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini :

Operasi Hitung pada Suku Banyak

Suatu persamaan polinomial memiliki operasi dasar yang sama dengan Sistem Persamaan Kuadrat yaitu : Operasi Penjumlahan, Pengurangan, dan Perkalian suku banyak. Teorema nya adalah sebagai berikut : jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, maka :

$f(x) \pm g(x)$ adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n.

$f(x) \cdot g(x)$ adalah suku banyak berderajat $(m+n)$ .

Contohnya adalah :

1. Penjumlahan

2. Pengurangan

Menentukan Derajat Suku Banyak

Contoh Soal (Sumber : Pelajaran.co.id) :

Diketahui suku banyak $p(x) = 2x^{4}+x^{2}-4x+6$

Tentukan Derajat dari Suku Banyak p(x)

Pembahasan :

$p(x) = 2x^{4}+x^{2}-4x+6$

$2x^{4}+0x^{3}+1x^{2}-4x+6$

Derajat suku banyak adalah 4

Koefisien $x^{4}$ adalah 2

Koefisien $x^{3}$ adalah 0

Koefisien $x^{2}$ adalah 1

Koefisien x adalah -4

Suku Tetap / Konstanta adalah 6

Contoh Soal Lainnya :

Menentukan Nilai Suku Banyak

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini :

1. Metode Subtitusi

Misalkan nilai $f(x) = x^{5}-2x^{4}+3x^{3}+4x^{2}-10x+3$ untuk x = -2 dengan $k \; \epsilon \; \mathbb{R}$ dapat ditentukan dengan mensubstitusi menjadi :

$f(-2) = (-2)^5 - 2(-2)^4 + 3(-2)^3 + 4(-2)^2 - 10(-2)^1 + 3$

$f(-2) = -32 - 32 - 24 + 16 + 20 + 3$

$f(-2) = -49$

2. Metode Skema (Bagan)

Misalkan $f(x) = x^4-4x^2-7x-60$ untuk x = 5. Yang pertama dilakukan adalah mengurutkan penulisan kiri ke kanan mulai dari pangkat tertinggi. Yang ditulis dalam bagan adalah koefisien dari masing-masing derajat suku banyak.

Contoh Soal :

Contoh Soal Lainnya :

PEMBAGIAN SUKU BANYAK (+ CONTOH SOAL)

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini :

A. Pembagian Bersusun

Saksikan terlebih dahulu Video dari Youtube di bawah ini :

Pembagian dengan cara Bersusun (Biasa) sebagai berikut :

pembagian bersusun suku banyak

B. Pembagian Sintetik (Horner)

Saksikan terlebih dahulu Video dari Youtube di bawah ini :

Atau bisa lihat di sini (MyRightspot.com) untuk Pembahasan tentang Pembagian Suku Banyak.

1. Pembagian dengan ${\color{Orchid}(x-k)}$

Misalkan $f(x) = a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ dibagi dengan $(x-k)$ memberikan hasil bagi $H(x)$ dan sisa pembagian S, diperoleh hubungan :

$f(x) = (x-k) \cdot H(x) + S$

Pembagian dengan cara ini menggunakan bagan seperti berikut :

metode horner

Berdasarkan kedua penyelesaian tersebut, didapat Hasil Pembagian $H(x) = a_2x + a_2k + a_1$ dan Sisa Pembagian $S = a_2k^2 + a_1k + a_0$ .

2. Pembagian dengan ${\color{Orchid}(ax+b)}$

Misalkan $k = -\frac{b}{a}$ , sehingga bentuk $(x - k)$ menjadi $(x + \frac{b}{a})$ . Jika suku banyak $f(x)$ dibagi dengan $(x + \frac{b}{a})$ memberikan hasil $H(x)$ dan sisa S, maka terdapat hubungan :

$f(x) = (x+\frac{b}{a}) \cdot H(x) + S = (ax+b) \cdot \frac{H(x)}{a} + S$

Dengan demikian $f(x)$ dibagi dengan $(ax + b)$ memberikan hasil bagi $\frac{H(x)}{a}$ dan sisa S. Koefisien-koefisien $\frac{H(x)}{a}$ dan S ditentukan dengan dua jenis cara pembagian sebelumnya dengan mengganti $k = -\frac{a}{b}$ .

3. Pembagian dengan ${\color{Orchid}(ax^{2}+bx+c)}$

Pembagian suku banyak $f(x)$ oleh pembagi dalam bentuk $(ax^2 + bx + c)$ yang tidak bisa difaktorkan, dapat dilakukan dengan Metode Pembagian Bersusun. Sedangkan jika pembagi dapat difaktorkan, penyelesaian dapat dilakukan dengan Metode Horner. Bentuk umum pembagian ini :

$f(x) = (ax^2 + bx + c) \times H(x) + S$

Misalkan $(ax^2 + bx + c)$ dapat difaktorkan menjadi $P_1$ dan $P_2$ sehingga $(ax^2 + bx + c) = P_1.P2$ , maka :

$f(x) = P_1 \times P_2 \times H(x) + S$

Langkah-langkah penyelesaiannya adalah :

Melakukan Pembagian Suku Banyak $f(x)$ oleh $P_1$ dengan hasil $H_0(x)$ dan sisanya $S_1$ .
Kemudian melakukan Pembagian $H_0(x)$ oleh $P_2$ dengan hasil $H(x)$ dan sisanya $S_2$ .
Hasil Bagi $f(x)$ oleh $(P_1 \times P_2)$ adalah $H(x)$ sedangkan sisanya $S(x) = P_1 \times S_2 + S_1$ . Ingat jika $P_1$ atau $P_2$ membentuk $(ax + b)$ , perlu untuk membagi $H(x)$ atau $H_0(x)$ dengan a untuk mendapatkan hasil baginya.

Contoh Soal :

TEOREMA SISA DAN TEOREMA FAKTOR (+ CONTOH SOAL)

A. Teorema Sisa

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini :

1. Dalil Sisa / Teorema Sisa

Misalkan $f(x)$ dibagi $P(x)$ dengan hasil bagi $H(x)$ dan sisa $S(x)$ , maka diperoleh hubungan :

$f(x) = P(x) \cdot H(x) + S(x)$

Jika $f(x)$ berderajat n dan $P(x)$ pembagi berderajat m, dengan $m \leq n$ , maka :

$H(x)$ berderajat $(n-m)$
$S(x)$ berderajat maksimum $(m-1)$

Teorema untuk Sisa adalah :

Jika $f(x)$ berderajat n dibagi dengan $(x - k)$ maka sisanya $S = f(k)$ . Sisa $f(k)$ adalah nilai suku banyak untuk $x = k$ .
Jika $f(x)$ berderajat n dibagi dengan $(ax + b)$ maka sisanya $S = f(-\frac{b}{a})$ . Sisa $f(-\frac{b}{a})$ adalah nilai untuk $x = -\frac{b}{a}$ .
Pembagi berderajat $m \ge 2$ yang dapat difaktorkan maka sisanya berderajat $(m - 1)$ .

Untuk lebih jelasnya, perhatikan langkah-langkah dalam mengerjakan soal :

Carilah sisa pembagi suku banyak $8x^{3}-2x^{2}+5$ dengan $(x+2)$

Pembahasan :

a.) Menggunakan Subtitusi

b.) Menggunakan Skema (Bagan) dengan Pembagian ${\color{Magenta}(x-k)}$

Jadi, sisanya $S = f(-2) = -67$ menggunakan Teorema Sisa.

Contoh Soal Lainnya :

2. Menentukan Sisa Pembagian Suku Banyak

Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) sisanya 24, sedangkan jika f(x) dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan (x – 2) (2x – 3), sisanya adalah....

A. 8x + 8

B. 8x − 8

C. −8x + 8

D. −8x − 8

E. −8x + 6

(Soal UN Tahun 2007)

Pembahasan :

Misal sisa pembagian dari f(x) dirumuskan S(x) = ax + b

Dibagi dengan (x – 2) sisanya 24 artinya:

x – 2 = 0

x = 2

S(x) = ax + b

24 = 2a + b ..........(Persamaan 1)

Dibagi dengan (2x – 3) sisanya 20 artinya:

2x – 3 = 0

x = 3/2

S(x) = ax + b

20 = 3/2 a + b ..........(Persamaan 2)

Gabungkan persamaan 1 dan 2

24 = 2a + b

20 = 3/2 a + b

______________ −

4 = 1/2 a

a = 8

24 = 2a + b

24 = 2(8) + b

24 = 16 + b

b = 8

Contoh Soal Lainnya :

B. Teorema Faktor

Sebelum melanjutkan untuk membaca, saksikan terlebih dahulu secara saksama Video dari Youtube yang ada di bawah ini :

Misalkan $f(x)$ adalah sebuah suku banyak dengan $(x - k)$ adalah faktornya jika dan hanya jika $f(x) = 0$ . Teorema faktor dapat dibaca sebagai berikut:

Jika $(x - k)$ faktor dari $f(x)$ , maka $f(x) = 0$ .
Jika $f(k) = 0$ , maka $(x - k)$ merupakan faktor dari $f(x)$ .

Contoh, menentukan faktor-faktor dari $f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ . Konstanta $-6$ memiliki faktor-faktor yang terdiri dari $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ . Dengan metode bagan di atas atau metode substitusi bisa diketahui nilai agar $f(x) = 0$ .